화학공학 유체역학 2.파이프에서의 유체 마찰

저번시간 요약:

화학공정 조작에서 유체는 주로 파이프를 통해 운반되는데, 파이프 내에서 점성 작용으로 인해 마찰이 발생하여 일이 열로 소실될 수 있다. 이러한 마찰은 펌프로 압력을 높이거나 중력장 내에서 높은 곳에서 낮은 곳으로 낙하시킴으로써 줄일 수 있다. 두 경우 모두 주어진 구동력(펌프 또는 중력장)하에서 유속 및 속도를 아는 것이 필요하다. 

 

1. 먼저 펌프로 압력을 높여서 마찰을 극복하는 경우를 살펴보자.

수평인 파이프라 중력 효과를 배제할 수 있다.이때, 실험을 통해 압력차는 길이에 정비례한다는 것이 밝혀졌다. 따라서 부피 유속에 따른 단위 길이 당 압력차를 그래프로 나타내면 3가지 영역이 발생한다.

 

1)유속이 낮은 영역에서, 유속이 빨라지면 압력차도 비례하여 발생한다.

2)중간 영역 유속은 예측하기 힘들다.

3)유속이 큰 경우, 유속의 제곱근에 압력차이가 비례한다.

 

이 영역들을 각각 층류, 전이, 난류 영역으로 구분한다. 추가적인 실험을 통해 이 영역의 구분은 레이놀즈 수에 의함이 밝혀졌다.

이때 난류에서 Q의 지수 값은 1.8~2인데, 이는 관 표면의 거칠기에 따라 달라진다. 

 

정리: 일단 수평인 파이프에서 유체가 흐를 때 마찰이 생기는 현상에 대해서 보고 있다. 그런데 유속의 흐름 양상과 그에 따른 압력 구배가 층류, 전이, 난류 구간에서 달라지므로 각 영역에서 마찰에 대해 탐구해볼 것이다.

 

 

1)층류영역

정상상태이므로 위 식이 성립한다. 이는 운동량 보존법칙으로 운동량 수지가 0임을 의미한다.

간략화하면 전단응력(마찰) T는 위 식으로 결정할 수 있다. 이게 의미하는 바는 전단응력은 r이 커져 벽에 가까워질 수록 강해지고, 파이프의 가운데에서는 0에 가깝게 된다.

 

이때, 만약 뉴턴성 유체라면 속도 분포와 총 부피 유속을 다음과 같이 나타낼 수 있음이 알려져있다.

이제 마찰 소산항을 결정해보자.

 

파이프 흐름이 있을때, 처음과 끝의 에너지 수지를 잡아보자

정상상태이므로 속도의 차이가 없고, 고도의 변화가 가해진 일도 0이다.

 

이 마찰 소산을 나타내는 방정식은 파이프의 경사에 의존하지 않는다. 평균 속도는 최대속도의 절반이다.

 

여기까지 정리:

이제 배관 및 수송 문제를 직접 풀어보자.

 

문제 1.

1) 다음은 어떤 고분자가 파이프를 통해 정상상태로 흐르고 있는 모습이다. 밀도는 900kg/m^3, 점도=0.01Pa s(kg/ms), D=0.02m, 평균속도 um=0.5m/s일때, 다음을 계산하라.

 

a)레이놀즈 수:

b)흐르는 단위 kg 당 마찰 소산

c)단위 미터당 발생하는 압력 강하

d)만약 파이프가 기울어져있고 펌핑작용이 없는 상태에서 파이프 길이 1m당 고도의 강하는?

 

문제 2. 경사진 파이프에서의 상향유동에서 마찰 소산을 구하시오

일단 운동량 수지를 적용하면 다음과 같다.

여기서 마찰 인자라고 하는 보정값을 도입한다.

위 식을 정리하면 다음과 같다.

압력강하는 마찰과 중력항에 의존함을 알 수 있다. 당연히 고도가 높아질 수록 압력이 크게 강하할 것임을 알 수 있다.

이때 마찰소산은 에너지 수지를 세워서 구할 수 있다.

정리하면 다음과 같다.,

이 식은 층류와 난류 모두에서 적용가능한 식이다. 이때 우리는 층류 영역에 한해 파이프의 경사에 상관없이 다음이 성립함을 위에서 보았다.

파이프의 경사에 상관없이 층류영역에서 마찰을 나타내는 식

이를 비교하면 층류 영역에서 마찰인자f값을 알 수 있다.

실험적으로, 마찰인자는 층류든 난류든 어떤 영역에서든 레이놀즈 수의 함수이며 정확한 값은 그래프를 통해 찾아볼 수 있다. 만약 난류이면 Re에 더해 거칠기 비에도 의존한다. 하지만 전이 영역에서는 식이 없으므로 피해야한다!

 

파이프의 거칠기 비는 무엇을 의미하는 건지 알아보자.

이것이고 분자는 다음표에서 구한다. 상업용 강철 파이프라면 0.00015이다.

분모는 파이프의 사양이 주어지면 다음 표에서 읽는다. 명목지름이 6in이고 schedule 40인 파이프의 D는 6.065in이다.

 

이렇게 거칠기 비를 구하고, 레이놀즈 수도 구했다면 마찰인자 f를 그래프든 아래 식이든 써서 구할 수 있다.

 

 

이 값을 다음식에 넣어서 마찰값을 구할 수 있다.

1. 수계산에는 그림을 이용하여 f값을 구한다.

2. 컴퓨터 프로그램을 쓸 경우 난류 영역과 층류 영역에서 각각 f식을 이용하여 값을 구한다.

3.구한 f값을 F식에 넣어 마찰 소산 에너지를 구한다.

 

 

정리