7. 2차계
여기서는 2차계, 또는 2차 지연이라고 불리는 기본적인 계를 소개한다. 2차계는 입력변수 x에 대한 출력변수 y와의 관계를 시간에 대한 2차 미분방정식으로 표현한다. 이러한 2차계는 전 포스팅에서 보았다시피 두 개의 1차계가 직렬로 연결되었을 때 나타날 수 있다. 몇몇 계들은 처음부터 2차계이지만 이들은 화학공학 분야에서는 흔히 볼 수 없다. 대부분의 2차계들은 1차계에 제어기를 설치할 때 나오는 것이다.
2차계의 일반적인 전달함수는 다음과 같은 표준형태를 가지는 것이 알려져있다.
1차계의 전달함수와 비교해보자.
2차계는 동특성을 나타내기 위해 τ외에 ξ도 필요하다는 차이가 있다. 이제 계단함수, 임펄스, 진동등의 보편적인 입력함수에 대한 2차계의 응답을 논의해보자.
1. 계단응답
계단응답을 줄 경우 Y(S)는 다음과 같이 나온다.
이 식에서 분모항을 인수분해하면 다음처럼 나타낼 수 있게 된다.
이렇게 인수분해하는 이유는 역변환을 쉽게하기 위해서이다. 이때 두근 sa와 sb는 매개변수 ξ의 값에 따라 실수일 수도 있고, 복소수일 수도 있다. 이러한 근의 성질은 결국 Y(t)의 형태에 영향을 미칠 것이다. 이 문제는 3가지 경우로 구분되는데, 각 경우를 살펴보자.
1) ξ<1이라 근이 복소수일 경우
역변환하면 다음과 같은 응답함수를 얻는다.
유도는 생략하도록 한다. 식을 외울 필요는 없지만, 여기에 사인 함수가 존재하므로 값이 진동하는 것을 알 수 있다. 이를 과소감쇠되었다고 한다.
2) ξ=1이라 근이 중근일 경우
응답함수는 다음처럼 간략화된다.
이 경우 critical damped 임계감쇠되었다고 하며 진동이 없고 가장 빠르게 Y=1로 수렴하는 이상적인 형태를 띈다.
1) ξ>1이라 근이 실근일 경우
이 응답또한 진동을 나타내지 않지만, ξ가 크면 점점 느려지는 수렴양상을 보인다. 이를 과도감쇠되었다고 한다. 모든 응답곡선은 궁극적으로는 Y=1(크기 1의 계단변화가 나타났으므로) 에 수렴하게 될 것이다.
이들을 한 그래프에 나타내면 다음과 같다.
2.과소감쇠계의 표현에 사용되는 용어
여기서 가장 흔하게 나타나는 응답은 보통 과소감쇠되어 진동이 발생하는 경우이다. 따라서 많은 용어들이 과소감쇠 응답을 기술하기 위해 정의되었는데, 이들을 살펴보도록 하자. 이들은 2차계의 특성인 τ, ξ에 영향을 받는다.
2-1)오버슈트: 응답이 계단변화가 도입된 후 얻게될 궁극적인 값을 얼마나 초과하게 되는가를 나타내는 척도로서, 위 그림에서는 A/B의 비로 나타낸다. 즉 응답이 최종 1로 수렴한다고 치면 처음 계단변화 도입시 4.3까지 치솟았다면 오버슈트는 4.3이다.
오버슈트는 다음식으로 계산할 수 있으며 ξ가 커짐에 따라 오버슈트는 감소한다.
2-2) 쇠퇴비: 연속적인 피크들 사이의 크기의 비율이다. 위 그림에서 C/A로 주어진다. 쇠퇴비는 ξ에 관계되며 다음식으로 표현된다.
오버슈트의 제곱값임을 유의하라. 그래프로 오버슈트와 쇠퇴비와 ξ의 관계를 나타내면 다음과 같다.
오버슈트와 쇠퇴비와 ξ는 서로 반비례한다.
2-3)상승시간: 응답이 궁극적인 값에 처음 도달하는데 걸리는 시간 tr
2-4)응답시간: 응답이 최종 값으로부터 오차 5%이내로 도달하여 머무르는데 걸리는 시간
2-5)진동주기 , 고유 진동주기: 추후 설명
요약하자면 τ는 2차계의 응답의 주기 또는 속도를 나타내는 척도이며 ξ는 감쇠의 정도, 또는 진동의 특성을 나타낸다.
3.임펄스 응답을 주는 경우
단위 임펄스 응답을 줄 경우 응답은 이렇게 나오는데, 이를 역변환 할 것이다. 계단함수와 마찬가지로 분모를 인수분해할 때 근들이 실수인가 복소수인가에 따라 응답이 달라지게 된다.
또는, 단위계단 함수를 미분하면 임펄스함수가 나온다는 알려진 정의를 참조해도 될 것이다.
3-1) ξ<1일때, 근이 복소수일때 임펄스 응답
3-2) ξ=1일때 임펄스 응답(임계감쇠)
3-3) ξ>1일때 임펄스 응답
이들을 모두 그래프에 나타내보았다.
임펄스는 순간 값이 뛰었다가, 0으로 복귀하는 경향이 있으며 이때 과소감쇠의 경우 진동을 하게 된다.